میکانیک کوانتومی پیشرفته
فیزیک کلاسیک : اجسام بزرگ باسرعت های کم رامورد مطالعه قرارمیدهد.
فیزیک مدرن: اجسام باسرعت های نزدیک به سرعت نوررا مورد مطالعه قرارمیدهد.
فیزیک کوانتوم: برای اجسام کوچک باسرعت های پایین موردمطالعه قرارمیدهد.مانند اتم ؛مولکولها ؛الکترون
کمیت ها:
کمیت پیوسته : مثل سرعت اجسام ؛هرمقداری میتواند داشته باشد.
کمیت گسسته: مثل بارالکتریکی هرعددی رانمی تواند بگیرد.
q
n=01.2.3.4…..
e=1.6
کلمه کوانتوم یعنی کوانتیده ؛کوانتیش؛گسسته بودن ؛درنظریه نسبیت جرم بااینطور تعریف میکنند.
m
c=3
300000
سرعت فاز بزرگتر ازسرعت نوراست که بعدا مطالعه خواهیم کرد.
شدت نوررا ازفورمول ذیل محاسبه کرده میتوانیم.
I=c
E=Eosin(kx-
I=N(h
)ثابت پلانگ است .طول موج دوپروی راچنین نوشته کرده میتوانیم.h.
طول موج دوپروی:
p=mv
انرژی (ای)واندازه حرکت (پی)متعلق به ذره ای بودن جسم هستند.لندا ونیوخاصیت موجی بودن است.
برای طول موج میانگین دوره تناوب فضای (لندا طول موج )و(تی)زمان تناوب.
1901(پلانک )تابش جسم سیاه را دیده بود
1905 (انیشتین)اثرفوتوالکتریک
1913(بوهر)نظریه کوانتوم طیف ها
1922(کامپتون)اثرپراگنده گی فوتونها توسط الکترونها
1924(پاولی)اصل طروپاولی
1925(دوپروی)ذره موج وامواج مادی
1927(گرمردایوون)آزمایش روی خواص موجی الکترون
1926-1927(شرودینگروهایزنبرگ وبورن )نظریه های قوی درباره رفتارماده درمقیاس های کوچک اتمی را بیان نموده (نظریه کوانتومی)
جنبه های تابش الکترومغناطیسی:
1:جنبه موجی 2:جنبه ذره ای
1:جنبه موجی: ازمایشهای مربوط به تداخل وپراش تابش الکترومغناطیس رادرصورت میتوان توضیح داد که تابش فقط متشکیل ازامواج می باشد اثرهای فوتوالکتریک کامپتوم رادرصورت میتوان توصیف کرد که نور فقط متشکیل ازفوتونهای ذره گونه باشد انرژی هرفوتون ذره گونه (ای)واندازه حرکت ان(پی)است که دقیقا توسط بسامد نور (نیو)فرکانس وطول موج (لندا)به ترتیب زیرمشخص میشود.
𝝂=
𝞴= h=6.6
که (اچ)ثابت پلانگ است که رابط بین مشخص های موجی ومشخص های ذره ای را به هم ربط میدهد میتوان گفت که امواج الکترومغناطیسی تحت شرایط مانند ذره (فوتون)وتحت شرایط مانند موج رفتارمی کند دوپروی حدث زد که ذره مادی بخاطر تقارن طبیعت باید خواص موجی رابخوبی نشان بدهد طول موج یک ذره مادی که اندازه حرکت ان (پی )است .
P=mv
ازرابط زیربدست می اید.
𝞴=
کاردوپروی توجه بسیاری را بخود جلب کردواشخاص تصمیم گرفتند تابا مشاهده پراش الکترون ان را تایید کنند.
مثال: طول موج ذره به جرم یک کیلوگرام باسرعت یک متربرثانیه را بدست اورید؟
M=1kg , 𝞴=
V=1m/s , 𝞴=?
طول موج اصولا انگستروم گفته اند که یک انگستروم ده به توان منفی ده است .واضح است که درپرتاب توپ بسبال ازیک پنجره باز بطرف دیوار درفاصله دورنباید انتظارداشت که دراصابت توپ ها به دیوار نقش پراش قابل تشخیص مشاهده شود .طول موج یک ذره مادی معمولی درمقایسه باابعاد اجسام عادی خیلی کوچک است پس:
λ ابعاد یک جسم معمولی
بنابراین اثرهای تداخل وپراش خیلی ظریف وباریک می باشد ولی اگر طول موج جسم خیلی بزرگ باشد میتوان اثرهای موجی رامشاهده کرد برای انکه طول موج جسم خیلی بزرگ باشد باید جرم وسرعت ان کوچک باشد واضیح است که برای طول موج بزرگ وسرعت کم میتوان ازرابطه غیرنسبیتی استفاده کرد.
سوال: مناسب ترین شرایط برای مشاهده پراش ذرات چیست؟
جواب: ذرات هستند که دارای طول موج قابل مقایسه بااندازه اتوم است برای داشتن بلند ترین طول موج باید ذره را انتخاب کنیم که دارای کوچکترین جرم ممکن باشد یعنی باید الکترون راانتخاب کنیم.
تعبیرامواج دوپروی به کمک نظریه احتمال:
سوال : وقتی گفته میشود که الکترون یا هرذره دیگردارای خواص موجی است دران صورت انچه موج می زنند چیست؟
جواب: ابتدا پرده را درنظر میگریم که توسط باریکه تک فام (فرکانس یکه) ازتابش الکترون مغناطیسی عمود برسطح پرده روشن شود.
حالت 1:
شدت نورنسبتا زیاد است دراین حالت به نظرمی رسد که سراسر سطح پرده به طوریکنواخت روشن شده است دراین حالت چون شدت باریکه نور زیاد است تعداد فوتونهای که به پرده می رسد انقدر زیاد است که ذره بودن فوتونهای مبهم است .ویک روشنای ظاهرا پیوسته وثابت دیده میشود که شدت روشنای ازرابطه زیربدست می اید.
I=c
حالت 2:
شدت باریکه نورفوق العاده ضعیف ودراین حالت بجای سطح که بطوریکنواخت روشن شده است مجموعه ازنقاط روشن دیده خواهد شد که هرنقطه روشن باورود یک تک فوتون متناظر است مکان وزمان برخوردیک فوتون راباپرده نمیتوان پشگوی کرد زیرا توضیح فوتونها کاملا تصادفی است ولی تعداد متوسط فوتونهای راکه درواحد زمان به واحد سطح می رسد را میتوان پشگوی کرد این تعداد همان شارفوتونی (جریان) (ان)است.
I=N(h,𝝂)
درنظر میگریم وفرض میکنیم که اینI=1 مثال: یک باریکه نورتک فام باشدت خیلی پاین
باریکه شامل فوتونهای است که انرژی هرکدام ان:
دراین صورت شارفوتونی راحساب کنید؟(h,𝝂)=8
I=N(h,𝝂)=N
N=
شارفوتونی (ان) زمان ومکان هرفوتون رادقیقا بدست نمی دهد بلکه تنها احتمال مشاهده یک فوتون را بما میدهد.
میخواهیم ببینیم که درتوصیف فوتونی نورچه مفهومی جدید را به مجذور شدت میدانی الکتریکی یعنی (ای مربع)نسبت داد.
I=c
بنابراین احتمال مشاهده یک فوتون درهرنقط ازفضا بامجذور شدت میدان الکتریکی دران نقط متناسب است .
دیدگاه نظریه کوانتومی :
ازدیدگاه نظریه کوانتومی میدان الکتریکی یک کمیت است که نیروی الکتریکی به اذای واحد بارالکتریکی را بدست میدهد علاوه بران کمیت است که مجذور ان احتمالی مشاهده یک فوتون رادرهرمکانفرضی بدست میدهداگرچی نظریه الکترومغناطیسی کلاسیک قادرنیست خصوصیات دقیقا کوانتومی تابش الکترومغناطیسی رابدست دهد ولی قادراست بامحاسبه مقادیر (ای مربع )احتمال مشاهده فوتونهارا بدست می دهد.
مفهوم طبیعت موجی یک ذره ای مادی مانند الکترون:
فرض کنید که رابط بین احتمال مشاهده یک ذره ومجذور دامنه موج ان دقیقا همانند رابط بین احتمال مشاهده یک فوتون باجرم سکون صفر ومجذور دامنه موج ان یعنی میدان الکتریکی باشد دامنه موج به ذره با(صای)نمایش میدهیم وانرا تابع موج مینامیم تابع موج (صا) کمیت است که مجذور ان مجذورتابع ان(یعنی صای مربع)بااحتمال مشاهده یک ذره مادی متناسب است بنابراین اگر(صای)نشان دهنده تابع موج درمکان (اکس)باشد احتمال اینکه ذره بین (اکس)و(اکس دی اکس)باشد.
X+dx, , x
مشاهده شود برابر است با:
بنابراین تابع موج یک ذره مانند میدان الکتریکی یک فوتون است وباتوجه به اینکه میدان الکتریکی عموما تابع ازمکان وزمان است تابع موج نیست تابع ازمکان وزمان است .
Ψ(x,t)
تعین مکان خاص یک فوتون دریک زمان ویژه باقطعیت کامل غیرممکن است اماتعین احتمال مشاهده ان به کمک (ای مربع) امکان پذیراست.تعین مکان مخصوص یک ذره دریک زمان ویژه باقطعیت کامل غیرممکن است ولی به کمک (صامربع)احتمال انرامیتوان تعین کرد بنابراین تابع موج یک ذره قاعده تا به تعبیر احتمال مکان ان ذره منجر میشود وتعبیر طبیعت موجی ذرات مادی برحسب احتمالات نخستین بار توسط(ماکس بورن )درسال 1926میلادی ارایه شد.
Z=x+iy
Z*=x-iy
Z2=zz*=(x+iy)(x-iy)=x2-ixy+ixy-i2y2 z2=x2+y2
سوال: میکانیک کوانتومی چیست؟
جواب : ان شاخه فیزیک کوانتومی که مساله یافتن مقادیر (صای)را برسی میکند میکانیک کوانتومی آقای شرودینگروهایزنبرگ میباشد.درمعادلات ماکسول معنای مقادیر محاسبه (ای) وجوددارد ولی درمعادله شرودنگرمعنای محاسبه مقادیر (صای)وجوددارد.
تابع موج درمعادله شرودینگرفقط برحسب تعبیراحتمال دارای مفهومی فیزیکی است واین تابع هیچ نوع نیروی رانشان نمیدهد
تابع موج مستقیما تابع قابل اندازه گیری یاقابل مشاهده نمی باشد ولی بشترین اطلاعات رامیتوان دررابطه بادستگاهی اجسام بدست اورد وهم چنین تمام کمیات های قابل اندازه گیری مانند انرژی واندازه حرکت ونیزاحتمال مکان اجسام رامیتوان ازان بدست اورد.
اصل مکملی :این اصل نشان میدهد که کاربرد هم زمان توصیف های موجی وذره ای درمورد یک ذره مادی یایک فوتون غیرممکن است درصورت که یکی ازانها را انتخاب کنیم ودیگری را کنارگذاشتیم.
مثال 1: اگرتابش الکترومغناطیس رابه زبان ذرات بیان کنیم ومکان فوتون رادرهرلحظ بادقت کامیل تعین کینم دران صورت عدم قطعیت درمکان وزمان هردو عدم قطعیت درمکان وزمان هردو صفر میباشد.
حالت2:عدم قطعیت به موج فوتون نسبت دارد.
حالت3: میانی:وضعیت است که دران مکان یک فوتون رانه به قطعیت بلکه باعدم قطعیت متناهی (محدود)دلتا اکس ودلتاتی درمکان وزمان تعین میکنیم.میکانیک نیوتن درباره ذرات ایده ال بحث میکند باداشتن سرعت اولیه یک ذره ومکان ان وبااگاه بودن به نیروی های وارد بران میتوانیم سرعت ومکان ذره را دراینده پشگوی کینم.مشخصات موج عبارت اند(لاندایعنی طول موج ونیویعنی بسامد یافرکانس)
E=E0sin(kx+
طول موج
T=ثابت ,x=
زمان تناوب
X= ثابت
فرکانس :تعداد دورها درواحدزمان فرکانس گویند.
زمان تناوب:دورمکمل رازمان تناوب گویند.
یک موج ایده آل که طول موج وبسامد ان را بادقت زیاد ومشخص کردن نمیتوان درهیچ ناحیه ازفضا محبوس شود.
E=E0sink(x- vph=
سرعت فازموج(سرعت موجv= (
اصل عدم قطعیت:ازرابطه فوق متوجه میشویم که اگربسامد یک موج دریک زمان خیلی کوتا اندازه گیری شود عدم قطعیت دراین بسامد بزرگ خواهد بود.
V=𝞴𝝂
پس
فیزیک کوانتومE=h𝝂
عدم قطعیت انرژی درعدم قطعیت زمان
چنانچه جسم یعنی فوتون یا یک الکترون ویاحتا دستگاهی ازذرات برای مدت زمان (دلتاتی)درحالت انرژی (ای)وجودداشته باشد دران صورت انرژی جسم حداقل به مقدار(اچ بردلتاتی)دارای عدم قطعیت خواهد بود.
حداقل
اگر
اگر
را میخواهیم دریافت کینم. رابط دیگرراداریم وعبارت اند از:
𝞴= عدم قطعیت مکان
میتواند صفرباشد وهیچ محدودیتی دقت شود که اندازه حرکت ومکان هردو دریک جهت اندازه گیری درانداگیری هم زمان اندازه حرکت وتغیرمکان که برهم عمود اند وجود ندارد.درمورد قطعیت اندازه گیری های (انرژی وزمان یامکان واندازه حرکت )بااصل مکملی هماهنگ است چنانچه طبیعت ذره ای یک ذره مانند الکترون کاملا نمایان شود دران صورت
ولی اگر جنبه ذره ای را انتخاب کنیم جنیه موجی الزاما کنارگذاشته میشود درنتیجه تمام کمیت های
دارای عدم قطعیت میباشد این مطلب یاازاصل عدم قطعیت یاازاصل مکملی نا شی میشود.P, 𝝂
فرض کنید که میخواهیم الکترون را به کمک خواص موجی ان نمایش بدهیم وباوجود این انرا تاحدود درفضا جایگزیده میکنیم .نمیتوان یک تک موج سینوسی را به این الکترون نسبت داد زیرا چنین موجی تابی نهایت گسترش میخواهد وقطعا جایگزیده نیست .ولی میتوان تعداد موجی سینوسی را که بسامد انها درباذه بسامدهای (دلتانیو)اختلاف دارد برهم نهاد ویک بسته موج بدست اورد.
مثال:سرعت یک گلوله به جرم 50گرام وسرعت یک الکترون به جرم 9.1ضرب ده بتوان منفی 28گرام باعدم قطعیت 0.001درصد وبرابر با 300متربرثانیه اندازه گیری شده است اگرمکان وسرعت دریک ازمایش بطورهمزمان اندازه گیری شود مکان هریک ازانها را باچه دقت اصولی میتوان مشخص کرد؟
کمیت معلوم
Me=9.1 ,9.1
V=300m/s
کمیت نامعلوم
=
برای الکترون me=9.1
P=mv
P=9.1
برای گلوله m=50g ,50 =
P=mv=5
توضیح:بنابراین بامقایسه مسله بالا برای اشیای ماکروسکوپیک مثل گلوله اصل عدم قطعیت محدودیت عملی برای روش اندازه گیری ماه ایچادنمی کند .و(دلتااکس)برای گلوله تقریبا برابرقطر هسته است که ده بتوان منفی هفده میباشد.ولی برای اشیای میکروسکوپیک مانند الکترون محدودیت عملی وجودداردراین مثال (دلتااکس)برای الکترون ده بتوان منفی هفده برابرقطراتوم است.
مثال:عدم قطعیت رادراندازه حرکت الکترون که مکان ان دارای عدم قطعیت یک انگستروم می باشد محاسبه نماید ؟انرژی الکترون را ده هزارالکترون ولت درنظربگیرید؟
عدم قطعیت نسبی
E=1/2mv2
P=mv
E=1/2m(p/m)2=1/2m
1000= =18.3 =1.82
مسله فوق رابرای جسم به جرم 10گرام که باسرعت 10سانتی متربرثانیه حرکت می کند برسی کنید؟فرض کنید که مکان جسم دارای عدم قطعیت درحدود ده بتوان منفی 3ملی متراست.
کمیت معلوم
M=10g ,10 =
= =
اصل فورمول
سرعت گلولهv=10cm/s=10 =10
P=mv= =
=
عدم قطعیت نسبی دراندازه حرکت این جسم ماکروسکوپیک دراین مثال به قدرکوچک است که درمقابل تمام محدودیت های تجربی ممکن میتوان ازان صرف نظرکرد.تنها درقلمرومیکروسکوپیک آنجا که دوگانگی موج ذره ای دارای اهمیت است اصل عدم قطعیت برقطعیت اندازه گیری هامحدودیت بنیادی اعمال میکند.درقلمروماکروسکوپیک درعمل عدم قطعیت ها نا چیزمیباشد.
انواع برهم کنش،یاانتقال انرژی بین ذرات وامواج:
درحالت کلی 3نوع برهم کنش داریم:
1:برهم کنش بین دوذره 2:برهم کنش بین ذره وموج3:برهم کنش بین دوموج
1:برهم کنش دوذره:هنگام دوذره برهم کنش می کند که باهم برخورد کرده باشد.
2:برهم کنش بین دوذره:یکبارالکتریکی که موج الکترومغناطیسی تولیدمی کنداین موج به نوبه خود می تواند باذره باردارالکتریکی برهم کنش کند وبه ان انرژی بدهد.
3:برهم کنش بین دوموج:هیچ برهم کنش بین دوموج وجودندارد وانرژی ترکیبی انها درهرنقطه ازفضا ازاصل برهم نهی پیروی می کند این اصل مبیین انست که می توان دویاچند اشفتگی رابرهم نهاد واشفتگی برایند رابدست اورد.
نوت:امواج بردونوع است .
1:امواج عرضی: جهت انتشاربرجهت ارتعاش ان عمود باشد.
2:امواج طولی: جهت انتشاربرجهت ارتعاش ان موازی باشد.
قطبیش میدان الکتریکی:
1: قطبیش خطی :راستای میدان الکتریکی ثابت است.
2:قطبیش دایره ای: اندازه میدان ثابت است ولی جهت ان تغیرمی کند.
3:قطبیش بیضوی:اندازه میدان وهم راستای ان تغیرمی کند.
سرعت فازوسرعت گروه:
Y=Asin(kx- سرعت فازسینوسی
𝛟=kx- فاز
شرط فازثابت
k
هنگامیکه دوموج سینوسی بابسامد های متفاوت دریک جهت وباسرعت یکسان درمحیط حرکت کند انرژی انتقال یافته بوسیله موج برایند نیزباهمان سرعت هریک ازدوموج حرکت می کند.
حالت اول:برآیند دوموج رامی دهند که باهمان سرعت (وی)حرکت می کندوانرژی انتقال یافته که توسط موج برایند با همان سرعت (وی)حرکت می کند.
بسامد موج سینوسی اول =𝝂1
سرعت موج اول =v1
بسامد موج سینوسی دوم=𝝂2
سرعت موج دوم=v2
حالت دوم:
امواج بابسامد های مختلف درهمان محیط باسرعت متفاوت حرکت کند.
بسامدموج سینوسی اول=𝝂1
سرعت موج اول=V2 حالت دوم
بسامد موج سینوسی دوم=𝝂2
سرعت موج دوم=V2
شرط سرعت گروه=v1=v2
انرژی باسرعت گروه منتقل می شود که باسرعت فاز:
v1
به چنین محیط یک محیط پاشنده گفته می شودمانندمنشور.
منشور:
Vنورقرمز
ضریب شکست n=
Nنورقرمز
درنتیجه: نورسفید که ازمنشورعبورمیکند بصورت طیفی پاشنده میشود.
فازVph=
دریافت رابط سرعت فازوسرعت گروه:
فرض کنیدکه دوموج داشته باشیم که فرکانس های شان تقریبا به هم نزدیک است ودامنه های شان یکی است.
موج اولy1(x,t)=Asin(
موج دومy2(x,t)=Asin(
تابع موج
معادله دیفرانسیل موج یک بعدی
- موج سینوسی حالت خاص ازتابع موج است:
Y=Asin(kx-
موج اولy1(x,t)=Asin(k1x-
موج دومy2(x,t)=Asin(k2x-
موج برآیندy=y1+y2=Asin(k1x-
اتحادمثلثاتی
y
حالا میخواهیم تغیرات را به شکل متوسط بنویسیم:
متوسط
متوسطk
dk
d
y
می کند vph=
سرعت گروه:vgr=
Vgr=
Vph=
اگرسرعت فازبرای تمام بسامد ها یکسان باشدvph=ثابت
برای محط پاشنده سرعت فازبرای تمام بسامد ها یکسان نمی باشد
اگر
اگر
سرعت فازرا به شکل دیگرهم میتوان نوشت.
Vph=
انرژیE=ħ
اندازه حرکتp=ħk ħ=
E=ħ𝝂
عدد موجk=
طول موج دوبروی𝞴=
E=ħ
P=ħk ⇨vph=
Vph=
مثال: برای ذره به جرم نیسیتی (ام) که باسرعت (وی) حرکت می کند سرعت فازرابدست اورید؟
کمیت معلوم
M=جرم نسبیتی
V=سرعت
E=mc2
P=mvp
کمیت نامعلوم
Vph=?
vph= =
حالا فرض کنید که جرم نسبیتی فوتون باشد.
برای فوتون
M=
V=c
v
برای فوتون m0=0,,v=c,,vph=?
Vph=
برای جسم باجرم سکون m0
Vph=
C=3
V=2
Vph=?
Vph=
توضیح:سرعت فازموج وابسته به ذره ازسرعت نوربیشتراست بنا براین موج تک فام که به یک ذره مادی نسبت داده می شود غیرقابل مشاهده می باشد.که این مسله ازدیدگاه میکانیک موجی ایجاد مزاحمت نمی کند.زیرا مشاهدات مربوط به احتمال یافتن یک ذره می باشد نه مربوط به سرعت که فازبا ان پیش می برد.
نکته: البته اگربخواهیم جسم را که انرژی واندازه حرکت حمل می کند ذره درنظرمی کیریم (یعنی انرژی واندازه حرکت ان درناحیه کوچک ازفضا محبوس باشد)دران صورت مطابق شکل زیرباید دامنه تابع موج وابسته به این جسم درناحیه نسبتا کوچک ازفضا متمرکزباشد.
شکل مذکور بسته موج رانشان می دهد که ترکیب ازامواج بابسامد های مختلف است. مکان ذره جای است که دران تابع موج واحتمال بزرگ می باشد .سرعت (وی)که ذره با ان حرکت می کند همان سرعت است که ناحیه تداخل سازنده نیز با ان درفضا پیش می رود.
مسله: نشان دهید سرعت گروه امواج دربسته موج باید با سرعت ذره یعنی (وی)باشد؟.
E=ħ
P=ħk
Vgr=
انرژی کلی ذره E2=E02+(pc)2⇨E=
Vgr=
مشتق می گیریم y= =
y’=1/2
vgr= ( ) =
انتگرال فوریه:
تابع متناوب یادوره تناوبf(x)=f(x+T)
T=2L
این تابع را می توان به یک (سری فوریه) درباذه L,-L نسبت داد که عبارت اند از:
=
جمع + +2
تفاضل - =
هدف: پیداکردن ضرایب بسط می باشد.یعنی
ضریب نرمالایزکردن:
= تابع دلتای کرونکر
بخاطر دریافت اطراف رابط را ضرب می کنیم وانتگرال می گیریم.
= dx
M=n =1
dx
مثال: 0=?
dx= dx+ dx+…….
=-(e =0
مثال:f(x) را به اساس تابع سری فوریه بنوسید؟.
+ + +……..
مثال:f(x)cosرا به اساس تابع سری فوریه بنوسید؟
درفیزیک کوانتوم دونوع فضا داریم:
1: فضای xمکان
2:فضای kمومنتم
که مضرب صحیح ازطول موج باشد.
n=1,2,3,…….
تغیرات
تفاضل دوعدد درست متوالی است.
f(x)=
تبدیل انتگرال فوریه:
= A(x) dk
تبدیلات انتگرال فوریه:
مثال:g(x)= =?,f(x)=?
حل انتگرال
فورمول انتگرال:
برای حل انتگرال تابع توان نمای را باید بصورت مربع کامل نوشت.
اضافه میکنم.
⇰
فرمول
فرض:
)(
این تابع در اکس مساوی صفر به اوج می رسد .آلفا بزرگ باشد این شکل پهن می شود.
حالت 1: پهنا دریک بردو ما گزیمم می شود
حالت2:......دریک برای ماگزیمم می شود.
= ⇰ =
حالا میخواهیم پهنای رابدست اوریم.
Kفضای →
احتمال →
شرط→
ویژگی کلی توابع هستند که تبدیل های سری فوریه یگدیگر می باشد.مرتبه واحداند.
انتشاربسته های موج:
معادله دیفرانسیل یک بعدی موج:
درمعادله ماکسول
تابع موج
موج نوسانی
موج تخت t)= , -
موج تخت سه بعدی ,t)=
موج تخت یک بعدی
= =
جای گذیده شدن موج رابطه برهم نهی امواج تخت رانشان میدهد که دامنه ان g(k)می باشد.
تا این قسمت تبدیل های انتگرال سری فوریه معادله موج وضریب نرمالایزکردن........غیره را مطالعه کردیم .
درسی بعدی ماوشما به امید خدای واحد ازمعادله شرودینگر شروع خواهد شد .
(الهم عجل لولیک الفرج)
معادله شرودینگر:
یک موج تخت را درنظرمی گیریم.
⇰
انرژی
عدد موج باید درمعادله دیفرانیسل موج صدق کند.برای انکه معادله صدق کند مشتق می گیریم.
………1)
حالا نسبت به زمان مشتق میگریم.
……..2)
فرض کنید که ذره ای به جرم mازطریق تابع انرژی پوتانیسل v=v(x)با محیط اطراف خود برهم کنش کند انرژی کل این سیستم ازرابط زیر بدست می آید.
انرژی پوتانسیل +انرژی جنبشی ذره=انرژی کل دستگاه
انرژی →
انرژی جنبشی →
رابط2
⇰
رابط1
دستگاهای که انرژی کلی انها e ثابت است وذرات مقید میباشد درینصورت بسامد = עوابسته به این ذرات مقید نیز ثابت است ومیتوان تابع موج را ازنظرفضا وزمان تفکیک کرد.
روابط بالا را به شکل ذیل هم میتوانیم بنوسیم.
حالا میخواهیم مشتق دوم را بگیریم.
رابط را به شکل ذیل میتوانیم بنویسیم.
چون سمت چب تابع مختصات وسمت راست تابع زمان است بنابراین باید برابر بامقدار ثابت باشد.
طرفین را درɸ ضرب میکنیم.
چون معادله انرژی (ای)ثابت است پس میتوانیم معاله را چنین بنویسم.
طرفین را بط را به iℏ تقسیم میکنیم.
⇰
طرفین را درTضرب میکنم.
چون تابع زمان است بنابراین جای مشتق جزی مشتق کامل مینویسم.
سپس انتگرال میگیریم.
نکته:چون معادله وابسته به زمان شرودینگر مرتبه دوم میباشد بنابران به دوشرط مرزی نیازاند شرایط مرزی عبارت اند از:
1: ɸباید پیوسته باشد ودوبارمشتق پذیر باشد ودرغیر انیصورت نمیتواند درمعادله شرودینگر صدق کند.
2: مشتق اول ɸ نیز باید پیوسته باشد چون اگر پیوسته نباشد مشتق دوم ان نیز وجود نخواهد داشت.
دوره تناوب میکانیکی موجی ذرات تابع موج کمیت است که مجذوران احتمال قرارگرفتن ذره درهر نقطه بدست می دهد .
توصیف کوانتومی یک ذره محبوس:
ذره که تحت تاثیر هیچ اثر خارجی نباشد طبق قانون اول نیوتن با اندازه حرکت ثابت درامتداد یک خط مستقیم حرکت میکند . چینین ذره ای که دارای اندازه حرکت ثابت ومشخص است باید بوسیله ای یک موج سینوسی تک فام که دارای طول موج مشخص است نمایش داده نشود.هرگاه بخواهیم که این طول موج بطور دقیق مشخص شود موج باید دارای گسترش نامتناهی درفضا باشد برطبق اصل عدم قطعیت وقتی طول موج ذره (اندازه حرکت ان)دقیقا مشخص شود مکان ان کاملا نامعلوم ونامعین است .ودر استخراج معادله شرودینگر فرض کردیم که ذره بصورت یک موج انتشار می یابد .معاله موج را بکاربرده ولی ذره بامحیط اطراف خود به عنوان یک ذره برهم کنش میکند(انرژی پتانیسل v)بصورت تابع ازنقاط درفضابیان می شود .درنتیجه اصل مکملی درمعادله شرودنیگر گنجانیده شده است.
رنکته:چنانچه نیروی وارد براین ذره ای مقید را بدانیم (یعنی اگرانرژی پتانیسل بصورت تابع ازمکان ذره درست باشد) میتوانیم توابع موج مجاز ذره وانرژی ها مجاز دستگاه را پیداکنیم.
جواب قابل قبولxѰباید متناهی ؛پیوسته وتک فام باشد بخصوص با ید شرایط مرزی که توسط مشخصه انرژی پتانیسل v(اعمال میشود سازگار باشد)درواقع اعمال شرایط مرزی برتابع موج است که منجر به کوانتیش انرژی یک دستگاهی مقید میشود .به بیان غیر تحلیلی باید ذره را به منزله موج تلقی کرد که درون مرزهای یک دستگاه مقید به عقب وجلو بازمی تابد وامواج ایستاده تشکیل میدهد .تطبیق امواج مانا باشرایط مرزی است که منجر به مقادیر کوانتیده انرژی مجاز یک دستگاه می شود .اگر انرژی پتانیسل تابع مکان باشد .
درینصورت انرژی جنبشی ذره kواندازه حرکت p وطول موج همگی باید تابع مکان باشد .
تعبیر احتمالاتی:
تعبیری برای(x,t) Ѱ
1: اولا صای اکس وتی یک تابع مختلط است.
2: ثابت تابع صای اکس وتی بتوان دو درحالی که باید ذره وجودداشته باشد بزرگ ودرجاهای دیگرکوچک است.
3: ثالثا دارای ویژه گی پهن شدن است.
تقریبا بلافاصله پس از کشف مادله شرودینگر (ماکس بورن) پراکنده گی باریکه از الکترونها توسط یک هدف را مطالعه کرد .ازانجا به تعبیر درست تابع موج پی برداونظر داد که کمیت :
عبارت است ازاحتمال انکه ذره ای را که باتابع موج (x,t)Ѱ توصیف میشود بتوان درزمان بینxو x+dx یافت .چگالی حقیقی است .ودرجایکه باید ذره وجودداشته باشد بزرگ است. وپهن شده گی ان به این معنا است که باگذشت زمان احتمال یافتن ذره درجایکه درt=o قرار داشته است کمتر میشود .برای صادق بودن این تعبیر باید شرایط زیر برقرار باشد.
مثال احتمالات
زیرا ذره باید به هر حال درجای باشد .که جواب(x,t) Ѱ رابتوان دریک ثابت ضرب کرد ونتیجه بازهم یک جواب خواهد داد بنابراین رابطه . جوابهای(x,t) Ѱ را به دسته ای ازتوابع محدود می کند که انتگرال پذیری مجذور ی هستند یعنی رابطه ای زیر برقراراست.
مشاهده پذیری ها وعملگرها:
سوال: درمکانیک کلاسیک کمیت های مانند اندازه حرکت p بردار اندازه حرکت زاویوی L بردار انرژی Eوغیره .....حالا میخواهیم بیبینیم که درمکانیک کوانتومی چی کمیت های را میتوان به جای انها تعریف کرد.
توضیح:
به اذای هرکمیت فیزیکی (مشاهده پذیری ) عملگر که آنها را f مینامیم وجوددارد بطوریکه:
|
عملگر درمکانیک کوانتومی |
مکانیک کلاسیک |
|
|
|
مسله :عملگرانرژی را درمکانیک کوانتومی بنوسید؟
مسله:عملگراندازه حرکت زاویوی را درمکانیک کوانتومی بنوسید؟
